Писал картины на темы русской и античной истории. Родился в Петербурге. В 1893 – 1896 учился в Рисовальной школе ОПХ, в 1896 – 1898 – в школе княгини М. Тенишевой, в 1898 – 1904 – в Петербургской АХ (у И. Репина). После окончания АХ получил право на пенсионерство на два года. В 1908 окончил Археологический институт. С 1912 состоял в должности художника Морского министерства. Путешествовал по Египту, Палестине, Италии и Франции, встречался на о. Капри с М. Горьким. Получил премию на конкурсе им. А. Куинджи и премию ОПХ. Несколько картин художника приобрела императрица Мария Федоровна. Работы воспроизводились в журналах «Нива», «Огонек», «Родина» и «СолнцеРоссии». В 1914 стал заведующим декоративной частью театра Литературно-художественного о-ва. Принимал участие в Весенних выставках в залах АХ, выставках ОРА (член о-ва с 1911), ТПХВ. С 1922 жил и работал во Франции, с середины 1930-х – в США.
К.А. Вещилов - любимый ученик И.Е. Репина, писал картины на темы русской и античной истории, много работал в жанре пейзажа, особенно маринистического. Учился в Академии Художеств (1898-1904 гг.), по окончании которой получил золотую медаль. С 1901 г. принимал участие в выставках. За картину «Иоанн Грозный после казанских побед» в 1904 г. получил звание художника. В 1905-1906 гг. – пенсионер Академии Художеств за границей. После учёбы за границей увлёкся батальной живописью и стал работать живописцем в Морском ведомстве. В 1918 г. приезжает в Пензенскую губернию, где женится на родственнице художника Ф.В. Сычкова. Там же организует декоративную мастерскую, пишет декорации к местным спектаклям, портреты вождей, оформляет революционные праздники. В июле 1919 г. открыл художественную выставку, которая стала ярким событием для всей Пензенской губернии. Вскоре после открытия выставки Вещилов был вызван в Москву. В 1922 г. из Москвы эмигрирует в Париж, где работает декоратором, артистом и режиссером Русского интимного театра Д. Кировой (1928-1930 гг.), а с 1933 г. становится членом правления секции художников при Союзе деятелей русского искусства во Франции.
Среди картин Константина Александровича Вещилова: «По дороге в храм» (1901, Одесский художественный музей), «Утопленница» (1903, Бердянсий художественный музей), «Ночь в Риме» (1903, Дальневосточный художественный музей, Хабаровск), «Прощеное воскресенье на Руси в XVII столетии» (премия им. А.И. Куинджи, 1905), «Стенька Разин на Волге» (1908, премия Общества поощрения художников, 1908), «Татарская потеха» (1911), «Вечер в марте» (1919) и другие. Написал несколько картин, посвященных русско-японской войне: «Прорыв крейсера «Аскольд» в 1904 г. в Желтое море», «Эскадра адмирала Рождественского» и другие. Автор многочисленных акварелей (1904-1917 гг.): «Полдень на Ладоге», «Тихий вечер» и др. Его кисти также принадлежат несколько портретов (в 1920 г. сделал зарисовки с натуры В. И. Ленина).